Les mathématiques sont le domaine dans lequel les raisonnements sont le plus rigoureux. Les plus encadrés par des règles précises. S’il existe un domaine dans lequel on peut se dire « ça, c’est du costaud, c’est du carré », ce sont bien les maths. Tout n’est pas si simple !
Les maths travaillent avec des règles bien précises et un cadre qui sont définis dans « une théorie ». Par exemple les règles de la géométrie sont définies par les axiomes d’Euclide (il existe toujours une droite qui passe par deux points du plan ; tout segment peut être étendu suivant sa direction en une droite ; etc… on les a apprises à l’école). La théorie qui est utilisée doit avoir quelques qualités : la plus importante, c’est qu’elle ne doit pas être incohérente. Car incohérence signifie qu’on peut démontrer une chose et son contraire. Ça serait une catastrophe de tout pouvoir démontrer, par exemple que le théorème de Pythagore est vrai et qu’il est faux. Rien n’aurait plus de sens.
Bref, les maths utilisent une théorie qui ne doit pas être incohérente. A ce jour, il n’y a pas de preuve de la cohérence de la théorie.
Pire, Gödel a prouvé qu’il est impossible de prouver sa cohérence ! Mince alors, on ne pourra jamais prouver la cohérence de la théorie. Bon, faisons avec. Ça ne veut pas dire qu’elle est incohérente, juste qu’on ne peut pas prouver qu’elle est cohérente. Et puis jusqu’à présent, on n’est jamais tombé sur un cas où on a prouvé une chose et son contraire, en 2000 ans de pratique, c’est rassurant.
Mais il y a pire. On peut toujours compléter la théorie avec des nouvelles règles (axiomes) pour la fiabiliser. Mais même en ajoutant toutes les règles qu’on veut, toutes les nouvelles théories ainsi créées seront toutes soumise au même problème : aucune ne pourra jamais prouver sa cohérence. Toujours à cause de Mr Gödel…
Mais il y a pire, comme je l'ai déjà dit, on peut rajouter des règles aux autres règles. Parmi les règles qu’on a le droit d’ajouter, il y a celle-ci « il existe une preuve de l’incohérence de la théorie ». Eh bien si la théorie d’origine est cohérente – ce en quoi croient les mathématiciens – alors la nouvelle l’est aussi.
Je résume : si la théorie actuelle est cohérente, alors la une nouvelle théorie dans laquelle il existe une preuve de son incohérence resterait cohérente. Hein ??
Autrement dit : si on croit dans la théorie actuelle, alors on est obligé de croire dans une théorie qui déclare sa propre incohérence mais qui est cohérente.
Oulala.
PS : oui, je m'intéresse à des trucs louches. 
, tu médites vraiment dans les bois 
