Curiosités mathématiques

Peri

AJA que 0,99999... = 1

Et là il se peut que vous me disiez "oui ok, c'est quasiment égal à 1"

Sauf que non, aussi contre-intuitif que ça puisse paraitre, c'est mathématiquement rigoureux. Une réelle égalité.

Démonstration 1 :
0,99999.... = 3 x 0,33333...
0,99999.... = 3 x 1/3
0,99999.... = 1

Démonstration 2 :
Soit x = 0,99999.....
10x = 9,99999....
10x = 9+x
10x-x = 9
9x = 9
x = 1

jool

@peri
J'adore ce genre de truc!

Je suis presque sûr qu'il y a une histoire de limite, genre 0.99999... tend vers 1 sans lui être parfaitement égal, mais on dit quand même qu'il y a égalité. Faudrait exprimer 0.99999... autrement pour en faire son étude.

Ça me rappelle un problème : si on remplit un verre à moitié, puis la moitié de sa moitié puis....donc :

1/2+1/4+1/8+...
=1/2¹+1/2²+1/2³+...+1/2^n

Ben le verre ne se remplit jamais complètement mais tend vers un nombre fini quand n tend vers l'infini.

Ici on pourrait faire un truc du genre :

0.99999... = 9/10+9/100+9/1000+...
= 9/10¹+9/10²+9/10³+....9/10^n

Et en étudiant la limite de cette suite, pour sûr ça tendrait vers 1!

Orabig

@jool a dit dans [AJA] Aujourd'hui j'ai appris :

Je suis presque sûr qu'il y a une histoire de limite, genre 0.99999... tend vers 1

Alors, je suis au regret de te dire que tu te trompes. Ce qui est étonnant, c'est que @Peri a fourni deux démonstrations parfaitement rigoureuses pour démontrer qu'il y a bien une égalité exacte entre les deux termes, mais elles ne t'ont pourtant pas convaincu. Si tu les relis attentivement, tu verras qu'elles ne comportent aucune faille ni astuce piégeuse, et tu ne pourras donc pas nier que le résultat est indéniable ("inéluctable" aurait dit Thanos).

Quand tu parles de limite, je suppose que tu fais allusion à la suite de nombres décimaux dont la représentation est 0,9 - 0,99 - 0,999 - 0,9999 - et ainsi de suite... Dans ce cas, effectivement, on a une infinité de termes tous différents, qui sont tous strictement inférieurs à 1, et dont la limite est 1. Mais c'est très différents, car tu te cantonnes à des nombres dont la représentation comporte un nombre fini de chiffres.

Par contre, ce dont parle @Peri , c'est d'un nombre dont la représentation décimale est infinie (d'où la présence des points de suspension dans son écriture). On peut noter ce nombre "0.99999..." ou parfois "0.[9]" (je note entre crochet le ou les nombres qui se répètent à l'infini).
Même si le concept même de nombres à la représentation est infinie peut paraître étrange, on peut en trouver beaucoup d'exemples assez courants :
1/3 = 0,333333... = 0,[3]
-1/11 = -0,09090909... = -0,[09]
pi = 3,14159269.... (celui là n'est pas périodique, et ne peut donc pas être représenté avec des crochets)

Ce qu'il faut comprendre, c'est qu'un nombre n'est pas la même chose que la représentation de ce nombre. Ainsi "un tiers" est la représentation en langage courant d'un nombre réel, qui a "1/3" en représentation algébrique et "0,33333..." en représentation décimale.

Le fait qu'on ait 2 représentations décimales différentes ("1" et "0,9999...") pour un même nombre (le "un") est peut-être effectivement contre-intuitive, mais finalement pas si étonnante que cela.

Par exemple, ca ne choque personne que "0" et "-0" soient deux représentations décimales différentes d'un même nombre (le zéro), n'est-ce pas ?

Si ca intéresse des gens, je créerais bien un topic dédié aux curiosités mathématiques du même style. J'ai passé ma jeunesse a les collectionner...

jool

@Orabig

Quand je parle de limite, je parle de la définition mathématique : En analyse mathématique, la notion de limite décrit l’approximation des valeurs d'une suite lorsque l'indice tend vers l’infini

Ce genre de truc qu'on voit vers la terminale ;

Donc je suis d'accord avec le fait que 1 est une approximation de 0.99999... (ou 0.[9] qui est plus élégant), ou une représentation, mais pas une égalité.
0.[9] ~ 1, là je suis content.

Mais si on dit que

1 = 0.99999...

Alors

1 - 0.99999... = 0

0.0000.....1 = 0

Ben non, il peut y avoir une infinité de zéros, il y aura toujours un 1 final, qui n'est donc pas égale à 0, même infiniment proche.

Je pense qu'il y a un problème de termes ici, représentation, égalité, approximation, et qu'on ne tombe pas d'accord.

Et je suis pour ton sujet !

Orabig

@jool a dit dans [AJA] Aujourd'hui j'ai appris :

Mais si on dit que

1 = 0.99999...

Alors

1 - 0.99999... = 0

0.0000.....1 = 0

Ben non, il peut y avoir une infinité de zéros, il y aura toujours un 1 final, qui n'est donc pas égale à 0, même infiniment proche.

Non, c'est là où tu te gourres, car le 1 "final" sera après le dernier "0".
Or, il y a une infinité de "0".
Tu ne peux pas mettre de 1 final, car il n'y a pas de "final"

Et si tu essayais de reprendre une des deux démonstrations de @Peri et tenter de chercher à quel endroit il y a une faille, et expliquer pourquoi ? (car si ce que tu dis es vrai, qu'il n'y a pas d'égalité, alors elles sont toutes les deux fausses)

jool

@orabig a dit dans [AJA] Aujourd'hui j'ai appris :

@jool a dit dans [AJA] Aujourd'hui j'ai appris :

Non, c'est là où tu te gourres, car le 1 "final" sera après le dernier "0".
Or, il y a une infinité de "0".
Tu ne peux pas mettre de 1 final, car il n'y a pas de "final"

Alors je l'écris comme ça :

0.[0]1

Et si tu essayais de reprendre une des deux démonstrations de @Peri et tenter de chercher à quel endroit il y a une faille, et expliquer pourquoi ? (car si ce que tu dis es vrai, qu'il n'y a pas d'égalité, alors elles sont toutes les deux fausses)

Dans la première, ce qui me dérange c'est de dire :
1/3 = 0.33333....
1/3 ~ 0.33333.... puisque c'est infini

Dans la deuxième, que x soit égal à un nombre infini.

Les deux cas proposent un raccourci qui ne me semble pas logiquement acceptable.

Orabig

@jool a dit dans [AJA] Aujourd'hui j'ai appris :

Alors je l'écris comme ça :

0.[0]1

Mais t'as pas le droit du tout !!
Tu peux pas ajouter un chiffre après une série infinie.

Dans "infini", y a "qui ne se fini pas" : tu n'as pas l'impression que c'est incompatible avec ta notion de "1 final" ?
Je crois que t'es en train de me troller et de me faire croire que tu crois à ce que tu dis.

1/3 ~ 0.33333.... puisque c'est infini

Heu, c'est quoi cet argument ?
Je pourrai tout aussi dire "Les poussins sont bleus, puisqu'ils ont des pattes". Quel est le rapport ?

(bon, on est surement en train de pourrir le fil AJA. Nos admins chéris ( @Hornet , @Shanna ) , c'est possible de déplacer notre débat dans un thread dédié ?)

want.wish

@orabig a dit dans [AJA] Aujourd'hui j'ai appris :

( Hornet , Shanna ) , c'est possible de déplacer notre débat dans un thread dédié ?)

Oui ce serait pas mal, pour que plus jamais, je ne vois apparaître tant de mathématiques !!!

Hornet

Scindio topica !

Orabig

@hornet a dit dans Curiosités mathématiques :

Scindio topica !

tu sais que t'es canon, @Hornet ?

ayamé

@want-wish a dit dans Curiosités mathématiques :

Oui ce serait pas mal, pour que plus jamais, je ne vois apparaître tant de mathématiques !!!

Non mais tu vois le genre de préoccupation qu'ils ont, les mecs...et après, il se dit que c'est nous les nanas
qui avons l'art de couper un cheveu en 4...j'hallucine.

Hornet

@orabig J'ai 11 ans gros dégoutant !

Biquette

@ayamé a dit dans Curiosités mathématiques :

@want-wish a dit dans Curiosités mathématiques :

Oui ce serait pas mal, pour que plus jamais, je ne vois apparaître tant de mathématiques !!!

Non mais tu vois le genre de préoccupation qu'ils ont, les mecs...et après, il se dit que c'est nous les nanas
qui avons l'art de couper un cheveu en 4...j'hallucine.

Couper en 4, couper en 4, ça dépend : 4 parts égales ou 4 parts tendant à être égales ?

Pour revenir au sujet : AJA j'ai appris qu'il existait du patchouli vert dont l'odeur est moins agressive que le "normal", mais je ne comprends pas d'où vient cette différence (c'est une autre plante ? Une autre partie ?)

Cuillère

Rien à avoir avec le message original, mais je suis tombé sur une énigme math, dont je n'arrive pas à comprendre comment la résoudre, si vous avez la solution...

3 personnes achètent une TV à 300€, à part égale.
Ils partent du magasin, et le vendeur se rend compte qu'elle coutait 250€.
Il prend 50€, il court pour leur apporter, mais sur le chemin, il décide de piquer 20€.
Il donne donc 30€ aux personnes, soit 10€ chacun.
Partant de là, ca veut dire que des 100€ qu'ils ont mis (chacun) dans la TV, cela revient donc à (100 - 10) 90€ chacun.
Sauf que, si on fait 90 x 3, ça fait 270€.
Si on ajoute les 20€ piqués par le vendeur, ça fait 290€.
Dans ce cas, ou sont les 10€ manquants des 300€ du début ?

Cette énigme me casse la tête depuis 2/3 jours, elle est probablement simple, mais j'y arrive pas, ou je suis très c**

Orabig

@biquette a dit dans Curiosités mathématiques :

Pour revenir au sujet : AJA j'ai appris qu'il existait du patchouli vert dont l'odeur est moins agressive que le "normal", mais je ne comprends pas d'où vient cette différence (c'est une autre plante ? Une autre partie ?)

Après le tour de passe-passe de @Hornet , t'es plus dans le bon sujet !

@hornet a dit dans Curiosités mathématiques :

@orabig J'ai 11 ans gros dégoutant !

Oui, mais je vois dans le futur, j'anticipe...

Orabig

@cuillère a dit dans Curiosités mathématiques :

Cette énigme me casse la tête depuis 2/3 jours, elle est probablement simple, mais j'y arrive pas, ou je suis très c**

L'erreur, c'est que le calcul qu'on te fait faire est faux, car ca n'a aucun sens d'ajouter aux 270€ (3x90€) qu'ont déboursés les personnes aux 20€ piqués par le vendeur.

Au contraire, il faut les soustraire ces 20€ (car le vendeur leur a bien volé cette somme sur l'argent qu'ils sont dépensés)

Et donc, 270€ - 20€ = 250€, ce qui tombe bien sur le prix de la télé...

icescream

@cuillère Ils ont au final paye 3*90 = 270 euros une tv qui en valait 250.
Ils ont donc paye 20 euros de trop, les fameux 20 euros que le vendeur a empoché.
Ca n a pas de sens de rajouter ces 20 euros au 270 puisqu ils sont deja dedans

PS: grillé par @Orabig

Cuillère

Bon, merci à vous 2 ! Je me coucherai mon bête

ayamé

@biquette : quand je coupe un gâteau en 4 ou même en 8, comment faire pour que mes parts
soient vraiment égales et non pas tendant à l'être ?
Crois-tu que l'un de nos brillants matheux pourrait m'aider à résoudre ce problème peut-être un peu trop concret pour eux ?

Orabig

@ayamé D'un point de vue mathématique, c'est assez simple. Par contre, c'est le passage de la théorie à la pratique qui pose problème
Par contre, je peux te démontrer que si tu fais un sandwich au jambon (une tranche de jambon sur une tranche de pain), il sera toujours possible de le couper en deux avec un seul coup de couteau, et m'assurer que chaque part a exactement la même quantité de pain ET de jambon, et ce, même si les tranches de pain et de jambon ont des formes et des épaisseurs irrégulières.